Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane's Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für PDF

By Alfred Göpfert, Thomas Riedrich, Visit Amazon's Christiane Tammer Page, search results, Learn about Author Central, Christiane Tammer,

ISBN-10: 3835101331

ISBN-13: 9783835101333

In diesem Lehrbuch werden die f?r die Wirtschaftsmathematik, insbesondere f?r die Optimierungstheorie, Stochastik und Numerik, erforderlichen Grundlagen der Funktionalanalysis in einer anschaulichen shape mit Bez?gen zu den entsprechenden Anwendungen in jedem Kapitel dargestellt. Dabei wird eine Untergliederung entsprechend der f?r die Wirtschaftsmathematik relevanten Haupts?tze der Funktionalanalysis, wie Baire's Kategoriesatz, Approximations- und Projektionssatz, Hahn-Banach-Theorem, Fixpunktaussagen und KKM-Theorem und Variationsprinzipien, vorgenommen.

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Sonst gäbe es für jede positive Zahl j = 1, 2, · · · ein Element x j ∈ X mit |x∗ (x j )| > j x j . , sonst folgte x∗ (x j ) = 0 > j · 0 = 0, ein Widerspruch. Daher sind die Elemente y j := 1j x1j x j wohldefiniert und haben die Eigenschaft { y j } → 0 für j → +∞. Da x∗ stetig ist, gilt auch {x∗ (y j )} → 0. 9) folgt für jedes x = 0 die Ungleichung reichen Schluss ziehen: |x∗ (x)| x xj 1 1 j x j = 1. 10) ≤ k. Aus ihr können wir einen folgen- 32 3 Funktionale und Operatoren Die kleinstmögliche untere Schranke von x∗ (bezeichnet mit x∗ ∗ ) ist offenbar x∗ x∗ ∗ ∗ |x∗ (x)| .

Wichtig ist der folgende Projektionssatz (vgl. 3, in dem die Existenz bester Approximationen gezeigt wurden). 14 Es sei K ein abgeschlossener linearer Teilraum des Hilbert-Raumes X. 32) x − x1 = inf x − y . y∈K Der Vektor x − x1 = x2 gehört zum orthogonalen Komplement X K = K ⊥ . Der Projektionsoperator PK hat folgende Eigenschaften: PK ist linear, symmetrisch, hat (falls K = {0}) die Norm 1 (ist also ein stetiger Operator), ist itempotent und nicht expansiv. 2 Orthonormalreihen 21 Beweis: Es sind nur noch die Orthogonalzerlegung und die Eigenschaften von PK zu zeigen.

Ein ONS im Hilbert-Raum X. Das ONS {en } heißt vollständig, wenn es keinen vom Nullvektor verschiedenen Vektor x gibt, der zu allen Vektoren en orthogonal ist. 9 (Orthogonalentwicklung) Es sei X ein Hilbert-Raum und {en } ein ONS in X. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig: 1. Das ONS {en } ist vollständig. 2. Für jedes x ∈ X gilt: (Fourier-Entwicklung von x) x= ∞ ∑ x|en en . 19) n=1 3. Für jedes x ∈ X gilt: (Parseval’sche Gleichung) x 2 = ∞ ∑ | x|en n=1 |2 . 19) sind gleichwertig. Wir benutzen die Bessel’sche Gleichung: Es gilt für festes n = 1, 2, ...

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by Daniel
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